結城浩
2003年12月23日
長男「お父さん、何か方程式の問題だして。」
私「方程式じゃないけれど、式と図形の話をしよう。たとえば、y=2xという式を考える。」
長男「2xっていうのは2・かける・エックスだよね。」
私「そのとおり。いまxとyの間にはy=2xという関係があるとする。xが1のとき、yはいくらだろう。」
長男「ええと、2だね。」
私「そうだね。じゃあxが0ならyは？」
長男「2・かける・ゼロだから、yは0だね。」
私「そのとおり。じゃあ、ここに紙があるから、点をプロットしてみよう。（水平線を引いて）これがx軸。（垂直線を引いて）これがy軸としよう。両方が交わったところが原点(0, 0)だ。この点は、xが0, yが0という二つの数の組に対応している。じゃあ、この点は（指差す）。」
長男「xとyでどっちを先に言うの？」
私「xだよ。」
長男「じゃあ、この点は(1, 0)だね。xが1, yが0。」
私「そうだね。じゃあこの点は？」
長男「それは(0, 1)だ。yが1なんだね。」
私「そのとおり。じゃあこれは？」
長男「その点は(1, 1)だ。簡単だよ。」
私「ふうむ。じゃあ、xとyがy=2xの関係を満たすときの点をいくつかプロットしてみよう。たとえば(0, 0)だよね…。」
長男「あっ、言わないで！自分でやる！(0, 0)と…（といいながら黒丸を書く）、(1, 2)と…、(2, 4)と…。」
私「うんうん、そういう感じだ。xが-1だったらどうだろう。」
長男「マイナス？ (-1, -2)だよね。…ここか。」
私「そうそう。ほら、いまの点を見てみると、右上がりの直線になっているね。」
長男「うん、うん。なってる。」
私「あなたは整数値だけをプロットしたけれど、分数や小数であってもy=2xの関係を満たす(x, y)の組に対応する点は、この右上がりの直線の上にある。」
長男「ふうん。」
私「やってみようか。xが1/2のとき、yは？」
長男「yは1だね。ふうん。」
私「だから、この直線を「y=2xの直線」と呼んでもいいだろう。」
長男「なるほど。」
私「じゃあ、ここでクイズだよ。「y=xの直線」はどういう直線かな。」
長男「y=2xじゃなくてy=xなんだね。(0, 0), (1, 1), (2, 2)っていう点を通る直線になるね。」
私「その通りだ。では「x=1の直線」というのはどうだろう。」
長男「この間お風呂のタイルでやったよね。垂直なこういう線。」
私「そうそう。じゃあ「y=1の直線」は？」
長男「こういう水平線だね。」
私「その通り。この平面の上にある点は二つの数のペア(x, y)であらわすことができる。図形は点の集合だから、二つの数のペアの集合を使って図形を現すことができる。二つの数の関係を式で表すことができれば、図形を式で表したことになる。」
長男「ふうん。」
私「実はこの間、5角形の星型ってコンピュータでどうやって描くのかな、って考えていたんだ。」
長男「星型？簡単じゃん。」
私「ええっ！簡単？」
長男「だって、まず5角形を描いて、点を結べばいいでしょう？」
私「うーん、それはそうなんだけれど、じゃあ5角形をどう描くか、っていう問題を解かなくちゃいけないね。」
長男「どうするの？どうするの？」
私「5角形はちょっと難しいから、正方形を描いてみようか。」
長男「うん、いいよ。」
私「中心が原点で、一辺の長さが2になるような正方形（辺は軸に並行でよいよ）を描いてみよう。どうすればいいだろう。」
長男「こうやってこうやって、こういう線を描けばいいでしょ？簡単じゃん。」
私「うん。そうなんだけど、それを(x, y)の関係であらわす、っていうのがポイントなんだ。コンピュータの画面は小さな点の集まりでできているでしょ？ xとyの組を一つ作って「ここに点を打ちなさい」ってコンピュータに命令すれば点が1つ描ける。たくさんの(x, y)を与えればコンピュータで図形が描ける。」
長男「うーん…」
私「じゃあ、ヒント。正方形は4つの辺でできているよね。そのそれぞれの…」
長男「あっ、もう言わないで言わないで！わかった。たとえばこの右側の辺はx=1の直線だよ！」
私「そうそう。でも正方形の4つの辺は直線ではなくって線分だ。どうする？」
長男「そうか。直線だと、ずーっと伸びちゃうんだ。うーん。わかんない。」
私「じゃあ、ヒント。x=1の直線の上ではxはいつも1だ。じゃあ、正方形の右側の辺では、yの値は何だろう。」
長男「yの値は…1かな？」
私「うん、(1, 1)は正方形の右上の頂点になるね。それで一点。」
長男「あ、わかった！yの値は-1から1までだ。」
私「ふうむ。「-1から」の「から」ってどういう意味だろう。含む？」
長男「以上！以上！ -1以上、1以下だね。」
私「その通り。正方形の右の辺は、xが1、yが-1以上1以下の範囲にある点の集合だ。-1より大きいってやっちゃうと角が白丸になっちゃう。次は上の辺に行こうか。」
長男「y=1の直線で、yは…」
私「y?」
長男「ちがう。xは-1から…」
私「-1から？」
長男「以上！ xは-1以上、1以下の範囲。」
私「その通り。xが-1以上1以下の範囲でyが1のとき、上の辺になる。左はどうかな。」
長男「x=-1の直線で、yは-1から…」
私「から？」
長男「…以上。yは-1以上1以下。」
私「うん。OK。下の辺は？」
長男「y=-1の直線で、xは-1以上、1以下の範囲。」
私「その通りだ。これで4つの辺をxとyの組であらわすことができた。正方形の誕生だ。」
長男「ふふん。」
私「正方形ができたから、こんどはちょっとだけ円をやってみよう。あなたは円の定義を知ってる？」
長男「円の定義？ うーんとね。まるいんだよ。」
私「丸い、だけだと楕円も丸いよね。」
長男「そうか…。中心からコンパスでくるっと描けばいいんだけどな。」
私「OK。始まりはこんなふうだ「ある点から…」」
長男「ある点から…半径のところにある点の…」
私「点の何？」
長男「…点の集合。」
私「いいねえ！ 円の定義は「ある点から一定の距離にある点の集合」だね（注意：平面上という前提が必要）。図形は点の集合だから、図形の定義はたいてい「…点の集合」という言葉で終わる。ところでこの「ある点」って何のこと？」
長男「中心。」
私「そうだね。「一定の距離」っていうのは？」
長男「半径。」
私「その通り。半径の長さだね。いま、xとyの組を使って円を描くには、「点と点の距離」というものをxとyであらわす必要がある。でも今日はもうくたびれたから、その話はやめよう。」
長男「えー、やめるのー。」
私「さわりだけちょっと話すと…ピタゴラスの定理が出てきます。」
長男「ふうん。」
私「ところで、さっきの円の定義「ある点から一定の距離にある点の集合」は円周をあらわしているわけだけれど、円の内部も含めた「円盤」はどう定義できるだろう。」
長男「円周の中の方。」
私「始まりはこんな風だ。「ある点から…」」
長男「ある点から…わかんない。」
私「「ある点から一定の距離以下にある点の集合」だね。」
長男「一定の距離以下？ …あああ、そうか！」
私「もしも「ある点から一定の距離未満にある点の集合」だったらどうなるかな。」
長男「はじっこがない。」
私「そうそう。円盤から円周を除いた、円の内部だけだね。ちょうど、耳を食べちゃったパンみたいな図形だ。」
長男「あはは。」